Algèbre linéaire

AuxiliaryUnitMatrix
AuxiliaryUnitMatrix (n)

Get the auxiliary unit matrix of size n. This is a square matrix with that is all zero except the superdiagonal being all ones. It is the Jordan block matrix of one zero eigenvalue.

See Planetmath or Mathworld for more information on Jordan Canonical Form.

BilinearForm
BilinearForm (v,A,w)

Évalue (v,w) par rapport à la forme bilinéaire donnée par la matrice A.

BilinearFormFunction
BilinearFormFunction (A)

Renvoie une fonction qui évalue deux vecteurs par rapport à la forme bilinéaire donnée par A.

CharacteristicPolynomial
CharacteristicPolynomial (M)

Alias : CharPoly

Renvoie le polynôme caractéristique d'un vecteur. C'est-à-dire renvoie les coefficients du polynôme en commençant par le terme constant. Ce polynôme est défini par det(M-xI). Les racines de ce polynôme sont les valeurs propres de M. Consultez également CharacteristicPolynomialFunction.

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CharacteristicPolynomialFunction
CharacteristicPolynomialFunction (M)

Renvoie le polynôme caractéristique d'un vecteur sous la forme d'une fonction. Ce polynôme est défini par det(M-xI). Les racines de ce polynôme sont les valeurs propres de M. Consultez également CharacteristicPolynomial.

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ColumnSpace
ColumnSpace (M)

Renvoie une matrice de base pour le sous-espace vectoriel d'une matrice. C'est-à-dire renvoie une matrice dont les colonnes forment une base pour le sous-espace vectoriel de M, donc l'espace engendré par les colonnes de M.

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CommutationMatrix
CommutationMatrix (m, n)

Return the commutation matrix K(m,n), which is the unique m*n by m*n matrix such that K(m,n) * MakeVector(A) = MakeVector(A.') for all m by n matrices A.

CompanionMatrix
CompanionMatrix (p)

Matrice compagnon d'un polynôme (comme vecteur).

ConjugateTranspose
ConjugateTranspose (M)

Transposée conjuguée d'une matrice (matrice adjointe). Identique à l'opérateur '.

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Convolution
Convolution (a,b)

Alias : convol

Calcule la convolution de deux vecteurs horizontaux.

ConvolutionVector
ConvolutionVector (a,b)

Calcule la convolution de deux vecteurs horizontaux. Renvoie le résultat sous la forme d'un vecteur dont les composants ne sont pas additionnées ensemble.

CrossProduct
CrossProduct (v,w)

Produit vectoriel de deux vecteurs dans R3 sous la forme d'un vecteur colonne.

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DeterminantalDivisorsInteger
DeterminantalDivisorsInteger (M)

Get the determinantal divisors of an integer matrix.

DirectSum
DirectSum (M,N...)

Somme directe de matrices.

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DirectSumMatrixVector
DirectSumMatrixVector (v)

Somme directe d'un vecteur de matrices.

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Eigenvalues
Eigenvalues (M)

Alias : eig

Renvoie les valeurs propres d'une matrice carrée. Ne fonctionne actuellement que pour les matrices de taille inférieure ou égale à 4 par 4 ou pour les matrices triangulaires (pour lesquelles les valeurs propres sont sur la diagonale).

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Eigenvectors
Eigenvectors (M)
Eigenvectors (M, &valeurspropres)
Eigenvectors (M, &valeurpropres, &multiplicités)

Renvoie les vecteurs propres d'une matrice carrée. Il est possible en option d'obtenir les valeurs propres ainsi que leur multiplicité algébrique. Ne fonctionne actuellement que pour les matrices 2x2.

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GramSchmidt
GramSchmidt (v,B...)

Applique le procédé de Gram-Schmidt (aux colonnes) par rapport au produit scalaire donné par B. Si B n'est pas fourni alors le produit hermitien standard est utilisé. B peut être soit une forme sesquilinéaire à deux arguments soit une matrice fournissant une forme sesquilinéaire. Les vecteurs seront orthogonaux par rapport à B.

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HankelMatrix
HankelMatrix (c,r)

Hankel matrix, a matrix whose skew-diagonals are constant. c is the first row and r is the last column. It is assumed that both arguments are vectors and the last element of c is the same as the first element of r.

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HilbertMatrix
HilbertMatrix (n)

Matrice de Hilbert d'ordre n.

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Image
Image (T)

Renvoie l'image (espace vectoriel engendré par les colonnes) d'une transformation linéaire.

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InfNorm
InfNorm (v)

Renvoie la norme « infini », appelée aussi norme sup, ou encore norme de la convergence uniforme.

InvariantFactorsInteger
InvariantFactorsInteger (M)

Get the invariant factors of a square integer matrix.

InverseHilbertMatrix
InverseHilbertMatrix (n)

Matrice inverse de Hilbert d'ordre n.

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IsHermitian
IsHermitian (M)

Indique si une matrice est hermitienne. C'est-à-dire si elle est égale à sa transposée conjuguée.

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IsInSubspace
IsInSubspace (v,W)

Teste si un vecteur appartient à un sous-espace.

IsInvertible
IsInvertible (n)

Is a matrix (or number) invertible (Integer matrix is invertible if and only if it is invertible over the integers).

IsInvertibleField
IsInvertibleField (n)

Indique si une matrice (ou un nombre) est inversible sur un corps.

IsNormal
IsNormal (M)

Indique si M est une matrice normale, c'est-à-dire M*M' == M'*M.

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IsPositiveDefinite
IsPositiveDefinite (M)

Indique si M est une matrice hermitienne définie positive. C'est-à-dire si HermitianProduct(M*v,v) est toujours strictement positif pour tout vecteur v. M doit être carré et hermitienne pour être définie positive. Le contrôle effectué est que le déterminant de chaque sous-matrice principale n'est pas négatif (consultez HermitianProduct).

Notez que certains auteurs (par exemple Mathworld) n'exigent pas que M soit hermitienne, ainsi la condition porte sur la partie réelle du produit scalaire mais ce n'est pas le cas de Genius. Si vous souhaitez réaliser ce type de contrôle, vérifiez seulement la partie hermitienne de la matrice M comme ceci : IsPositiveDefinite(M+M').

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IsPositiveSemidefinite
IsPositiveSemidefinite (M)

Indique si M est une matrice hermitienne semi-définie positive. C'est-à-dire si HermitianProduct(M*v,v) est toujours non négatif pour tout vecteur v. M doit être carré et hermitienne pour être semi-définie positive. Le contrôle effectué est que le déterminant de chaque sous-matrice principale n'est pas négatif (consultez HermitianProduct).

Notez que certains auteurs n'exigent pas que M soit hermitienne, ainsi la condition porte sur la partie réelle du produit scalaire mais ce n'est pas le cas de Genius. Si vous souhaitez réaliser ce type de contrôle, vérifiez seulement la partie hermitienne de la matrice M comme ceci : IsPositiveSemiDefinite(M+M').

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IsSkewHermitian
IsSkewHermitian (M)

Indique si une matrice est anti-hermitienne. C'est-à-dire si sa transposée conjuguée est égale à l'opposée de la matrice.

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IsUnitary
IsUnitary (M)

Indique si une matrice est unitaire. C'est-à-dire si M'*M et M*M' sont égaux à l'identité.

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JordanBlock
JordanBlock (n,lambda)

Alias : J

Renvoie le bloc de Jordan correspondant à la valeur propre lambda de multiplicité n.

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Kernel
Kernel (T)

Renvoie le noyau d'une transformation linéaire.

(consultez NullSpace)

KroneckerProduct
KroneckerProduct (M, N)

Aliases: TensorProduct

Compute the Kronecker product (tensor product in standard basis) of two matrices.

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Version 1.0.18 onwards.

LUDecomposition
LUDecomposition (A, L, U)

Get the LU decomposition of A, that is find a lower triangular matrix and upper triangular matrix whose product is A. Store the result in the L and U, which should be references. It returns true if successful. For example suppose that A is a square matrix, then after running:

genius> LUDecomposition(A,&L,&U)

You will have the lower matrix stored in a variable called L and the upper matrix in a variable called U.

This is the LU decomposition of a matrix aka Crout and/or Cholesky reduction. (ISBN 0-201-11577-8 pp.99-103) The upper triangular matrix features a diagonal of values 1 (one). This is not Doolittle's Method, which features the 1's diagonal on the lower matrix.

Toutes les matrices ne possèdent pas de décomposition LU, par exemple [0,1;1,0] n'en a pas. Dans ce cas, cette fonction renvoie false (faux) et initialise L et U à null.

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Minor
Minor (M,i,j)

Renvoie le mineur i-j d'une matrice.

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NonPivotColumns
NonPivotColumns (M)

Renvoie les colonnes qui ne sont pas les colonnes pivot d'une matrice.

Norm
Norm (v,p...)

Alias : norm

Renvoie la norme-p d'un vecteur (ou norme-2 si p n'est pas fourni).

NullSpace
NullSpace (T)

Renvoie le noyau d'une matrice. C'est-à-dire le noyau de l'application linéaire que la matrice représente sous la forme d'une matrice dont l'espace des colonnes est le noyau de T.

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Nullity
Nullity (M)

Alias : nullity

Renvoie la dimension du noyau de la matrice M.

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OrthogonalComplement
OrthogonalComplement (M)

Renvoie le complément orthogonal de l'espace des colonnes.

PivotColumns
PivotColumns (M)

Return pivot columns of a matrix, that is columns that have a leading 1 in row reduced form. Also returns the row where they occur.

Projection
Projection (v,W,B...)

Projection du vecteur v sur le sous-espace W par rapport au produit scalaire donné par B. Si B n'est pas fourni alors le produit hermitien standard est utilisé. B peut être soit une forme sesquilinéaire à deux arguments soit une matrice fournissant une forme sesquilinéaire.

QRDecomposition
QRDecomposition (A, Q)

Get the QR decomposition of a square matrix A, returns the upper triangular matrix R and sets Q to the orthogonal (unitary) matrix. Q should be a reference or null if you don't want any return. For example:

genius> R = QRDecomposition(A,&Q)

You will have the upper triangular matrix stored in a variable called R and the orthogonal (unitary) matrix stored in Q.

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RayleighQuotient
RayleighQuotient (A,x)

Renvoie le quotient de Rayleigh (aussi appelé le quotient ou rapport de Rayleigh-Ritz) d'une matrice et d'un vecteur.

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RayleighQuotientIteration
RayleighQuotientIteration (A,x,epsilon,maxiter,vecref)

Cherche les valeurs propres de A en utilisant la méthode itérative du quotient de Rayleigh. x est une valeur initiale estimée pour un vecteur propre et peut être tirée au hasard. Si vous voulez avoir une chance de trouver des valeurs propres complexes, la partie imaginaire ne doit pas être nulle. Le programme effectue au maximum maxiter itérations et renvoie null s'il ne peut trouver une solution avec une précision inférieure à epsilon. vecref doit être soit null ou une référence à une variable dans laquelle le vecteur propre est enregistré.

See Planetmath for more information on Rayleigh quotient.

Rank
Rank (M)

Alias : rank

Renvoie le rang d'une matrice.

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RosserMatrix
RosserMatrix ()

Returns the Rosser matrix, which is a classic symmetric eigenvalue test problem.

Rotation2D
Rotation2D (angle)

Alias : RotationMatrix

Renvoie la matrice correspondant à la rotation centrée sur l'origine dans R2.

Rotation3DX
Rotation3DX (angle)

Renvoie la matrice correspondant à la rotation centrée sur l'origine dans R3 autour de l'axe des x.

Rotation3DY
Rotation3DY (angle)

Renvoie la matrice correspondant à la rotation centrée sur l'origine dans R3 autour de l'axe des y.

Rotation3DZ
Rotation3DZ (angle)

Renvoie la matrice correspondant à la rotation centrée sur l'origine dans R3 autour de l'axe des z.

RowSpace
RowSpace (M)

Renvoie une matrice de base pour l'espace vectoriel engendré par les lignes d'une matrice.

SesquilinearForm
SesquilinearForm (v,A,w)

Évalue (v, w) par rapport à la forme sesquilinéaire donnée par la matrice A.

SesquilinearFormFunction
SesquilinearFormFunction (A)

Renvoie une fonction qui évalue deux vecteurs par rapport à la forme sesquilinéaire donnée par A.

SmithNormalFormField
SmithNormalFormField (A)

Returns the Smith normal form of a matrix over fields (will end up with 1's on the diagonal).

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SmithNormalFormInteger
SmithNormalFormInteger (M)

Return the Smith normal form for square integer matrices over integers.

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SolveLinearSystem
SolveLinearSystem (M,V,params...)

Résout le système linéaire Mx=V, renvoie V s'il y a une solution unique ou null sinon. Deux références d'arguments supplémentaires peuvent être utilisés pour recevoir les réductions de M et V.

ToeplitzMatrix
ToeplitzMatrix (c, r...)

Return the Toeplitz matrix constructed given the first column c and (optionally) the first row r. If only the column c is given then it is conjugated and the nonconjugated version is used for the first row to give a Hermitian matrix (if the first element is real).

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Trace
Trace (M)

Alias : trace

Calcule la trace d'une matrice, c'est-à-dire la somme des éléments diagonaux.

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Transpose
Transpose (M)

Matrice transposée. C'est identique à l'opérateur .'

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VandermondeMatrix
VandermondeMatrix (v)

Alias : vander

Renvoie la matrice de Vandermonde.

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VectorAngle
VectorAngle (v,w,B...)

L'angle entre deux vecteurs par rapport au produit scalaire donné par B. Si B n'est pas fourni alors le produit hermitien standard est utilisé. B peut être soit une forme sesquilinéaire à deux arguments soit une matrice fournissant une forme sesquilinéaire.

VectorSpaceDirectSum
VectorSpaceDirectSum (M,N)

Somme directe des espaces vectoriels M et N.

VectorSubspaceIntersection
VectorSubspaceIntersection (M,N)

Intersection des sous-espaces donnés par M et N.

VectorSubspaceSum
VectorSubspaceSum (M,N)

Somme des espaces vectoriels M et N, c'est-à-dire {w | w=m+n, m dans M, n dans N}.

adj
adj (m)

Alias : Adjugate

Renvoie la matrice adjointe d'une matrice.

cref
cref (M)

Aliases: CREF ColumnReducedEchelonForm

Calcule la forme échelonnée réduite en colonnes.

det
det (M)

Alias : Determinant

Renvoie le déterminant d'une matrice.

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ref
ref (M)

Aliases: REF RowEchelonForm

Renvoie la matrice échelonnée en lignes (row echelon) d'une matrice. C'est-à-dire effectue une élimination de Gauss de M. Les lignes de pivot sont divisées pour que tous les pivots soient égaux à 1.

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rref
rref (M)

Aliases: RREF ReducedRowEchelonForm

Renvoie la matrice échelonnée réduite en lignes (reduced row echelon) d'une matrice. C'est-à-dire effectue une élimination de Gauss-Jordan de M.

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