Teorie čísel

AreRelativelyPrime
AreRelativelyPrime (a,b)

Jsou reálná celá čísla a a b nesoudělná? Vrací true nebo false.

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.

BernoulliNumber
BernoulliNumber (n)

Vrátit n-té Bernoulliho číslo.

Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině) a Mathworld (text je v angličtině).

ChineseRemainder
ChineseRemainder (a,m)

Alternativní názvy: CRT

Najít pomocí čínské věty o zbytcích x, které řeší systém zadaný vektorem a, a zbytky prvků m.

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.

CombineFactorizations
CombineFactorizations (a,b)

Jsou-li dány dva rozklady, vrátit rozklad (faktorizaci) součinu.

Viz Factorize.

ConvertFromBase
ConvertFromBase (v,b)

Převést vektor hodnot udávajících mocniny b na číslo.

ConvertToBase
ConvertToBase (n,b)

Převést číslo na vektor mocnin prvků o základu b.

DiscreteLog
DiscreteLog (n,b,q)

Najít diskrétní logaritmus n o základu b v Fq, konečné grupě řádu q, kde q je prvočíslo, pomocí Silverova-Pohligova-Hellmanova algoritmu.

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.

Divides
Divides (m,n)

Zkontrolovat dělitelnost (zda m dělí n).

EulerPhi
EulerPhi (n)

Spočítat Eulerovu funkci fí pro n, to je počet celých čísel mezi 1 a n, relativně prvočíselných vůči n.

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.

ExactDivision
ExactDivision (n,d)

Return n/d but only if d divides n. If d does not divide n then this function returns garbage. This is a lot faster for very large numbers than the operation n/d, but it is only useful if you know that the division is exact.

Factorize
Factorize (n)

Return factorization of a number as a matrix. The first row is the primes in the factorization (including 1) and the second row are the powers. So for example:

genius> Factorize(11*11*13)
=
[1      11      13
 1      2       1]

Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia.

Factors
Factors (n)

Return all factors of n in a vector. This includes all the non-prime factors as well. It includes 1 and the number itself. So to print all the perfect numbers (those that are sums of their factors) up to the number 1000 you could do (this is clearly very inefficient)

for n=1 to 1000 do (
    if MatrixSum (Factors(n)) == 2*n then
        print(n)
)

FermatFactorization
FermatFactorization (n,pokusy)

Zkusit Fermatův rozklad n na (t-s)*(t+s). Pokud to je možné, vrací t a s jako vektor, jinak vrací null. Argument pokusy určuje počet pokusu, než se výpočet vzdá.

Jedná se o docela dobrý rozklad za předpokladu, že je vaše číslo součinem dvou přibližně stejně velkých čísel.

Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia (text je v angličtině).

FindPrimitiveElementMod
FindPrimitiveElementMod (q)

Najít první primitivní prvek v Fq, konečné grupě řádu q. Je samozřejmé, že q musí být prvočíslo.

FindRandomPrimitiveElementMod
FindRandomPrimitiveElementMod (q)

Najít náhodný primitivní prvek v Fq, konečné grupě řádu q. Je samozřejmé, že q musí být prvočíslo.

IndexCalculus
IndexCalculus (n,b,q,S)

Spočítat diskrétní logaritmus n o základu b v Fq, konečné grupě řádu q (q prvočíslo) pomocí faktorizační báze S. S by měl být sloupec prvočísel, pokud možno s druhým sloupcem předpočítaným pomocí IndexCalculusPrecalculation.

IndexCalculusPrecalculation
IndexCalculusPrecalculation (b,q,S)

Provést přípravný krok výpočtu funkce IndexCalculus pro logaritmy o základu b v Fq, konečné grupě řádu q (q prvočíslo), pro faktorizační bázi S (kde S je sloupcový vektor prvočísel). Logaritmy budou předpočítány a vráceny v druhém sloupci.

IsEven
IsEven (n)

Otestovat, zda je celé číslo sudé.

IsMersennePrimeExponent
IsMersennePrimeExponent (p)

Zjistit, jestli je kladné celé číslo p Mersennovo prvočíslo. Tj. zda 2p-1 je prvočíslo. Provádí se to hledáním v tabulce známých hodnot, která je relativně krátká. Viz také MersennePrimeExponents a LucasLehmer.

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině), GIMPS (text je v angličtině) a Wikipedia.

IsNthPower
IsNthPower (m,n)

Zjistit, jestli je racionální číslo m perfektní n-tou mocninou . Viz také IsPerfectPower a IsPerfectSquare.

IsOdd
IsOdd (n)

Otestovat, zda je celé číslo liché.

IsPerfectPower
IsPerfectPower (n)

Zkontrolovat, zda je celé číslo perfekntí mocninou ab.

IsPerfectSquare
IsPerfectSquare (n)

Check an integer for being a perfect square of an integer. The number must be an integer. Negative integers are never perfect squares of integers.

IsPrime
IsPrime (n)

Tests primality of integers, for numbers less than 2.5e10 the answer is deterministic (if Riemann hypothesis is true). For numbers larger, the probability of a false positive depends on IsPrimeMillerRabinReps. That is the probability of false positive is 1/4 to the power IsPrimeMillerRabinReps. The default value of 22 yields a probability of about 5.7e-14.

If false is returned, you can be sure that the number is a composite. If you want to be absolutely sure that you have a prime you can use MillerRabinTestSure but it may take a lot longer.

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.

IsPrimitiveMod
IsPrimitiveMod (g,q)

Zkontrolovat, zda je g primitivní v Fq, konečné grupě řádu q, kde q je prvočíslo. Pokud q není prvočíslo, jsou výsledky nesmyslné.

IsPrimitiveModWithPrimeFactors
IsPrimitiveModWithPrimeFactors (g,q,f)

Zkontrolovat, zda je g primitivní v Fq, konečné grupě řádu q, kde q je prvočíslo a f je vektor prvočíselných činitelů q-1. Pokud q není prvočíslo, jsou výsledky nesmyslné.

IsPseudoprime
IsPseudoprime (n,b)

Zda je n pseudoprvočíslo o základu b, ale ne prvočíslo, tj. jestli b^(n-1) == 1 mod n. Volá se funkce PseudoprimeTest.

IsStrongPseudoprime
IsStrongPseudoprime (n,b)

Zjistit, zda je n silné pseudoprvočíslo o základu b, ale ne prvočíslo.

Jacobi
Jacobi (a,b)

Alternativní názvy: JacobiSymbol

Spočítat Jacobiho symbol (a/b) (b by mělo být liché).

JacobiKronecker
JacobiKronecker (a,b)

Alternativní názvy: JacobiKroneckerSymbol

Spočítat Jacobiho symbol (a/b) s Kroneckerovým rozšířením (a/2)=(2/a), když a je liché, nebo (a/2)=0, když a je sudé.

LeastAbsoluteResidue
LeastAbsoluteResidue (a,n)

Vrátit zbytek a mod n s nejmenší absolutní hodnotou (v intervalu -n/2 až n/2).

Legendre
Legendre (a,p)

Alternativní názvy: LegendreSymbol

Spočítat Legendrův symbol (a/p).

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.

LucasLehmer
LucasLehmer (p)

Zjistit pomocí Lucasova-Lehmerova testu, zda je 2p-1 Mersennovo prvočíslo. Viz také MersennePrimeExponents a IsMersennePrimeExponent.

Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině), Planetmath (text je v angličtině) a Mathworld (text je v agličtině).

LucasNumber
LucasNumber (n)

Vrátit n-té Lucasovo číslo.

Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině), Planetmath (text je v angličtině) a Mathworld (text je v angličtině).

MaximalPrimePowerFactors
MaximalPrimePowerFactors (n)

Vrátit všechny maximální mocniny prvočísel v rozkladu čísla.

MersennePrimeExponents
MersennePrimeExponents

Vektor se známými exponenty Mersennových prvočísel, což je seznam kladných celých čísel p takových, že 2p-1 je prvočíslo. Viz také IsMersennePrimeExponent a LucasLehmer.

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině), GIMPS (text je v angličtině) a Wikipedia.

MillerRabinTest
MillerRabinTest (n,opak)

Use the Miller-Rabin primality test on n, reps number of times. The probability of false positive is (1/4)^reps. It is probably usually better to use IsPrime since that is faster and better on smaller integers.

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.

MillerRabinTestSure
MillerRabinTestSure (n)

Použít Millerův-Rabinův test prvočíselnosti na n s tolika bázemi, že za předpokladu zobecněné Riemannovy hypotézy je výsledek deterministický.

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.

ModInvert
ModInvert (n,m)

Vrátit převrácenou hodnotu n mod m.

Více informací najdete v encyklopedii Mathworld (text je v angličtině).

MoebiusMu
MoebiusMu (n)

Vrátit Möbiovu funkci μ vyhodnocenu na n. Což znamená, že vrátí 0 v případě, že n není součin různých prvočísel, a (-1)^k v případě, že je součin k různých prvočísel.

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.

NextPrime
NextPrime (n)

Vrátit nejmenší prvočíslo větší než n. Záporná prvočísla jsou považována za prvočísla, takže předchozí prvočíslo můžete získat jako -NextPrime(-n).

Tato funkce používá funkci mpz_nextprime z knihovny GMP, která zase používá pravděpodobnostní Millerův-Rabinův test (viz také MillerRabinTest). Pravděpodobnost falešné kladné odpovědi není nastavitelná, ale je dostatečně malá pro praktické účely.

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.

PadicValuation
PadicValuation (n,p)

Vrátit p-adické ohodnocení (počet koncových nul v základu p).

Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině) a Planetmath (text je v angličtině).

PowerMod
PowerMod (a,b,m)

Spočítat a^b mod m. b-tá mocnina čísla a modulo m. Tuto funkci není nutné používat, protože se automaticky použije v režimu modulární aritmetiky. Z tohoto důvodu je a^b mod m stejně rychlé.

Prime
Prime (n)

Alternativní názvy: prime

Vrátit n-té prvočíslo (až do limitu).

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.

PrimeFactors
PrimeFactors (n)

Vrátit v podobě vektoru všechny prvočinitele čísla.

Více informací najdete v encyklopediích Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia (text je v angličtině).

PseudoprimeTest
PseudoprimeTest (n,b)

Pseudoprime test, returns true if and only if b^(n-1) == 1 mod n

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.

RemoveFactor
RemoveFactor (n,m)

Odstranit všechny instance činitele m z čísla n. Prakticky to znamená, že je poděleno nejvyšší mocninou čísla m, která je dělitelem n.

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.

SilverPohligHellmanWithFactorization
SilverPohligHellmanWithFactorization (n,b,q,f)

Najít diskrétní logaritmus n o základu b v Fq, konečné grupě řádu q, kde q je prvočíslo, pomocí Silverova-Pohligova-Hellmanova algoritmu, dané f je rozkladem q-1.

SqrtModPrime
SqrtModPrime (n,p)

Najít druhou odmocninu z n modulo p (kde p je prvočíslo). Pokud není kvadratickým zbytkem, je vráceno null.

Více informací najdete v encyklopedicíh Planetmath (text je v angličtině) a Mathworld (text je v angličtině).

StrongPseudoprimeTest
StrongPseudoprimeTest (n,b)

Spustit silný test pseudoprvočíselnosti o základu b na n.

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia (text je v angličtině).

gcd
gcd (a,argumenty...)

Alternativní názvy: GCD

Největší společný dělitel celých čísel. V seznamu argumentů můžete uvést libovolný počet celých čísel, nebo je můžete zadat jako vektor nebo matici celých čísel. Pokud zadáte více než jednu matici stejné velikosti, bude největší společný dělitel určen prvek po prvku.

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.

lcm
lcm (a,argumenty...)

Alternativní názvy: LCM

Nejmenší společný násobek celých čísel. V seznamu argumentů můžete uvést libovolný počet celých čísel, nebo je můžete zadat jako vektor nebo matici celých čísel. Pokud zadáte více než jednu matici stejné velikosti, bude nejmenší společný násobek určen prvek po prvku.

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.