Linjär algebra

AuxiliaryUnitMatrix
AuxiliaryUnitMatrix (n)

Hämta hjälpenhetsmatrisen av storlek n. Detta är en kvadratisk matris med bara nollor, förutom element i överdiagonalen (i,i+1) som har värdet 1. Det är Jordanblockmatrisen med ett egenvärde som är noll.

Se Planetmath eller Mathworld för mer information om Jordans normalform.

BilinearForm
BilinearForm (v,A,w)

Beräkna (v,w) med avseende på den bilinjära formen given av matrisen A.

BilinearFormFunction
BilinearFormFunction (A)

Returnera en funktion som beräknar två vektorer med avseende på den bilinjära formen given av A.

CharacteristicPolynomial
CharacteristicPolynomial (M)

Alias: CharPoly

Hämta det karakteristiska polynomet som en vektor. Det vill säga returnera koefficienterna för polynomet med den konstanta termen först. Detta är polynomet som definieras av det(M-xI). Rötterna för detta polynom är egenvärdena för M. Se även CharacteristicPolynomialFunction.

Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.

CharacteristicPolynomialFunction
CharacteristicPolynomialFunction (M)

Hämta det karakteristiska polynomet som en funktion. Detta är polynomet som definieras av det(M-xI). Rötterna för detta polynom är egenvärdena för M. Se även CharacteristicPolynomial.

Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.

ColumnSpace
ColumnSpace (M)

Hämta en basmatris för kolumnrummet för en matris. Det vill säga returnera en matris vars kolumner är basen för kolumnrummet av M. Det vill säga rummet som spänns upp av kolumnerna i M.

Se Wikipedia för mer information.

CommutationMatrix
CommutationMatrix (m, n)

Returnera kommutationsmatrisen K(m,n) som är den unika m*n×m*n-matrisen så att K(m,n) * MakeVector(A) = MakeVector(A.') för alla m×n-matriser A.

CompanionMatrix
CompanionMatrix (p)

Följeslagarmatris av ett polynom (som en vektor).

ConjugateTranspose
ConjugateTranspose (M)

Konjugattransponatet av en matris (adjungerad matris). Detta är det samma som .'-operatorn.

Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.

Convolution
Convolution (a,b)

Alias: convol

Beräkna faltningen av två horisontella vektorer.

ConvolutionVector
ConvolutionVector (a,b)

Beräkna faltning av två horisontella vektorer. Returnera resultatet som en vektor och inte adderade.

CrossProduct
CrossProduct (v,w)

CrossProduct (kryssprodukt) av två vektorer i R3 som en kolumnvektor.

Se Wikipedia för mer information.

DeterminantalDivisorsInteger
DeterminantalDivisorsInteger (M)

Hämta determinantdelarna av en heltalsmatris.

DirectSum
DirectSum (M,N...)

Direkt summa av matriser.

Se Wikipedia för mer information.

DirectSumMatrixVector
DirectSumMatrixVector (v)

Direkt summa av en vektor av matriser.

Se Wikipedia för mer information.

Eigenvalues
Eigenvalues (M)

Alias: eig

Hämta egenvärdena för en kvadratisk matris. Fungerar för närvarande endast för upp till matriser av storlek upp till 4×4-matriser eller triangulära matriser (för vilka egenvärdena är på diagonalen).

Se Wikipedia, Planetmath eller Mathworld för mer information.

Eigenvectors
Eigenvectors (M)
Eigenvectors (M, &eigenvalues)
Eigenvectors (M, &eigenvalues, &multipliciteter)

Hämta egenvektorerna för en kvadratisk matris. Hämta valfritt även egenvärdena och deras algebraiska multipliciteter. Fungerar för närvarande endast för matriser med storlek upp till 2×2.

Se Wikipedia, Planetmath eller Mathworld för mer information.

GramSchmidt
GramSchmidt (v,B...)

Tillämpa Gram-Schmidt-processen (till kolumnerna) med avseende på inre produkten given av B. Om B inte angiven används den hermiteska produkten. B kan antingen vara en seskvilinjär funktion av två argument eller så kan det vara en som ger en seskvilinjär form. Vektorerna kommer att göras ortonormala med avseende på B.

Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.

HankelMatrix
HankelMatrix (k,r)

Hankelmatris, en matris vars antidiagonaler är konstanta. k är den första raden och r är den sista kolumnen. Det antas att båda argumenten är vektorer och att det sista elementet i c är detsamma som det första elementet i r.

Se Wikipedia för mer information.

HilbertMatrix
HilbertMatrix (n)

Hilbertmatris av ordning n.

Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.

Image
Image (T)

Hämta bilden (kolumnrummet) av en linjär avbildning.

Se Wikipedia för mer information.

InfNorm
InfNorm (v)

Hämta supremumnormen av en vektor, även kallad maximinormen eller oändlighetsnormen.

InvariantFactorsInteger
InvariantFactorsInteger (M)

Hämta de invarianta faktorerna för en kvadratisk heltalsmatris.

InverseHilbertMatrix
InverseHilbertMatrix (n)

Invers Hilbertmatris av ordning n.

Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.

IsHermitian
IsHermitian (M)

Är en matris hermitesk. Det vill säga lika med sitt konjugattransponat.

Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.

IsInSubspace
IsInSubspace (v,W)

Testa om en vektor är i ett underrum.

IsInvertible
IsInvertible (n)

Är en matris (eller tal) inverterbar (En heltalsmatris är inverterbar om och endast om den är inverterbar över heltalen).

IsInvertibleField
IsInvertibleField (n)

Är en matris (eller ett tal) inverterbar över en kropp.

IsNormal
IsNormal (M)

Är M en normal matris. Det vill säga är M*M' == M'*M.

Se Planetmath eller Mathworld för mer information.

IsPositiveDefinite
IsPositiveDefinite (M)

Är M en hermitesk positivt definit matris. Det vill säga om HermitianProduct(M*v,v) alltid är strikt positiv för varje vektor v. M måste vara kvadratisk och hermitesk för att vara positivt definit. Kontrollen som utförs är att varje principal-undermatris har en icke-negativ determinant. (Se HermitianProduct)

Observera att vissa författare (till exempel Mathworld) inte kräver att M är hermitesk, och då är villkoret på realdelen av den inre produkten, men vi delar inte denna åskådning. Om du vill utföra denna kontroll, se bara på den hermiteska delen av matrisen M enligt följande: IsPositiveSemidefinite(M+M').

Se Wikipedia, Planetmath eller Mathworld för mer information.

IsPositiveSemidefinite
IsPositiveSemidefinite (M)

Är M en hermitesk positivt semidefinit matris. Det vill säga om HermitianProduct(M*v,v) alltid är icke-negativ för varje vektor v. M måste vara kvadratisk och hermitesk för att vara positivt semidefinit. Kontrollen som utförs är att varje principal-undermatris har en icke-negativ determinant. (Se HermitianProduct)

Observera att vissa författare inte kräver att M är hermitesk, och då är villkoret på realdelen av den inre produkten, men vi delar inte denna åskådning. Om du vill utföra denna kontroll, se bara på den hermiteska delen av matrisen M enligt följande: IsPositiveSemidefinite(M+M').

Se Planetmath eller Mathworld för mer information.

IsSkewHermitian
IsSkewHermitian (M)

Är en matris skevhermitesk. Det vill säga är konjugattransponatet lika med den negativa matrisen.

Se Planetmath för mer information.

IsUnitary
IsUnitary (M)

Är en matris unitär? Det vill säga, är M'*M och M*M' lika med identiteten.

Se Planetmath eller Mathworld för mer information.

JordanBlock
JordanBlock (n,lambda)

Alias: J

Hämta Jordanblocket som motsvarar egenvärdet lambda med multiplicitet n.

Se Planetmath eller Mathworld för mer information.

Kernel
Kernel (T)

Hämta kärnan (nollrummet) av en linjär avbildning.

(Se NullSpace)

KroneckerProduct
KroneckerProduct (M, N)

Alias: TensorProduct

Beräkna Kroneckerprodukten (tensorprodukt i standardbas) av två matriser.

Se Wikipedia, Planetmath eller Mathworld för mer information.

Version 1.0.18 och framåt.

LUDecomposition
LUDecomposition (A, L, U)

Get the LU decomposition of A, that is find a lower triangular matrix and upper triangular matrix whose product is A. Store the result in the L and U, which should be references. It returns true if successful. For example suppose that A is a square matrix, then after running:

genius> LUDecomposition(A,&L,&U)

You will have the lower matrix stored in a variable called L and the upper matrix in a variable called U.

Detta är LU-faktoriseringen av en matris, även känd som Crout- och/eller Cholesky-faktorisering. (ISBN 0-201-11577-8 pp.99-103) Den uppåt triangulära matrisen har värdet 1 (ett) på diagonalen. Detta är inte Doolittles metod som har ettorna diagonalt på nedermatrisen.

Alla matriser har inte LU-faktoriseringar, till exempel har [0,1;1,0] inte det och denna funktion returnerar false i det fallet och ställer in L och U till null.

Se Wikipedia, Planetmath eller Mathworld för mer information.

Minor
Minor (M,i,j)

Hämta i-j-underdeterminanten (minoren) av en matris.

Se Planetmath för mer information.

NonPivotColumns
NonPivotColumns (M)

Returnera kolumnerna som inte är pivotkolumnerna av en matris.

Norm
Norm (v,p...)

Alias: norm

Hämta p-normen (eller 2-normen om inget p är angivet) för en vektor.

NullSpace
NullSpace (T)

Hämta nollrummet för en matris. Det vill säga kärnan för den linjära avbildningen som matrisen representerar. Detta returneras som en matris vars kolumnrum är nollrummet av T.

Se Planetmath för mer information.

Nullity
Nullity (M)

Alias: nullity

Hämta nulliteten av en matris. Det vill säga returnera nollrummets dimension; dimensionen på kärnan av M.

Se Planetmath för mer information.

OrthogonalComplement
OrthogonalComplement (M)

Hämta det ortogonala komplementet till kolumnrummet.

PivotColumns
PivotColumns (M)

Returnera pivotkolumner för en matris, det vill säga kolumner som börjar med 1 i radreducerad trappstegsform, returnerar också raden där de förekommer.

Projection
Projection (v,W,B...)

Projicering av vektor v till underrum W med avseende på inre produkt given av B. Om B ej angiven används den vanliga hermiteska produkten. B kan antingen vara en seskvilinjär funktion av två argument eller så kan det vara en matris som ger en seskvilinjär form.

QRDecomposition
QRDecomposition (A, Q)

Get the QR decomposition of a square matrix A, returns the upper triangular matrix R and sets Q to the orthogonal (unitary) matrix. Q should be a reference or null if you don't want any return. For example:

genius> R = QRDecomposition(A,&Q)

You will have the upper triangular matrix stored in a variable called R and the orthogonal (unitary) matrix stored in Q.

Se Wikipedia eller Planetmath eller Mathworld för mer information.

RayleighQuotient
RayleighQuotient (A,x)

Returnera Rayleighkvoten (även kallad Rayleigh-Ritz-kvoten eller förhållandet) av en matris och en vektor.

Se Planetmath för mer information.

RayleighQuotientIteration
RayleighQuotientIteration (A,x,epsilon,maxiter,vekref)

Hitta egenvärdena av A med Rayleighkvot-iterationsmetoden. x är en gissning av en egenvektor och kan vara slumpmässig. Den ska ha nollskild imaginärdel om den ska ha någon chans att hitta komplexa egenvärden. Koden kommer köras som mest maxiter iterationer och returnera null om vi inte kan få ett mindre fel än epsilon. vekref ska antingen vara null eller en referens till en variabel där egenvektorn ska lagras.

Se Planetmath för mer information om Rayleighkvot.

Rank
Rank (M)

Alias: rank

Hämta rangen av en matris.

Se Planetmath för mer information.

RosserMatrix
RosserMatrix ()

Returnerar Rossermatrisen som är ett klassiskt testproblem för symmetriska egenvärden.

Rotation2D
Rotation2D (vinkel)

Alias: RotationMatrix

Returnera matrisen som motsvarar rotation runt origo i R2.

Rotation3DX
Rotation3DX (vinkel)

Returnera matrisen som motsvarar rotation runt origo i R3 kring x-axeln.

Rotation3DY
Rotation3DY (vinkel)

Returnera matrisen som motsvarar rotation runt origo i R3 kring y-axeln.

Rotation3DZ
Rotation3DZ (vinkel)

Returnera matrisen som motsvarar rotation runt origo i R3 kring z-axeln.

RowSpace
RowSpace (M)

Hämta en basmatris för radrummet av en matris.

SesquilinearForm
SesquilinearForm (v,A,w)

Beräkna (v,w) med avseende på den seskvilinjära formen given av matrisen A.

SesquilinearFormFunction
SesquilinearFormFunction (A)

Returnera en funktion som beräknar två vektorer med avseende på den seskvilinjära formen given av A.

SmithNormalFormField
SmithNormalFormField (A)

Returnerar Smiths normalform för en matris över kroppar (kommer i slutet ha 1:or på diagonalen).

Se Wikipedia för mer information.

SmithNormalFormInteger
SmithNormalFormInteger (M)

Returnerar Smiths normalform för kvadratiska heltalsmatriser över heltal.

Se Wikipedia för mer information.

SolveLinearSystem
SolveLinearSystem (M,V,arg...)

Lös det linjära systemet Mx=V, returnera lösningen V om det finns en unik lösning, returnera null annars. Två extra referensparametrar kan valfritt användas för att få tag i de reducerade M och V.

ToeplitzMatrix
ToeplitzMatrix (k, r...)

Returnera Toeplitzmatrisen skapad med den första kolumnen k och (valfritt) den första raden r. Om endast kolumnen k anges så konjugeras den och den icke-konjugerade versionen används som den första raden för att ge en hermitesk matris (om det första elementet är reellt).

Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.

Trace
Trace (M)

Alias: trace

Beräkna spåret av en matris. Det vill säga summan av de diagonala elementen.

Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.

Transpose
Transpose (M)

Transponatet av en matris. Detta är det samma som .'-operatorn.

Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.

VandermondeMatrix
VandermondeMatrix (v)

Alias: vander

Returnera Vandermondematrisen.

Se Wikipedia för mer information.

VectorAngle
VectorAngle (v,w,B...)

Vinkeln av två vektorer med avseende på en inre produkt given av B. Om B inte är angiven används den vanliga hermiteska produkten. B kan antingen vara en seskvilinjär funktion av två argument eller så kan det vara en matris som ger en seskvilinjär form.

VectorSpaceDirectSum
VectorSpaceDirectSum (M,N)

Den direkta summan av vektorrummen M och N.

VectorSubspaceIntersection
VectorSubspaceIntersection (M,N)

Snitt av underrummen angivna av M och N.

VectorSubspaceSum
VectorSubspaceSum (M,N)

Summan av vektorrummen M och N, det vill säga {w | w=m+n, m i M, n i N}.

adj
adj (m)

Alias: Adjugate

Hämta den klassiska adjunkten (transponatet av kofaktormatrisen) av en matris.

cref
cref (M)

Aliases: CREF ColumnReducedEchelonForm

Beräkna den kolumnreducerade trappstegsformen.

det
det (M)

Alias: Determinant

Hämta determinanten av en matris.

Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.

ref
ref (M)

Aliases: REF RowEchelonForm

Hämta trappstegsformen av en matris. Det vill säga tillämpa gausselimination men inte bakåtaddition till M. Pivotraderna divideras så att alla pivoter blir 1.

Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.

rref
rref (M)

Aliases: RREF ReducedRowEchelonForm

Hämta den radreducerade trappstegsformen av en matris. Det vill säga tillämpa gausselimination tillsammans med bakåtaddition till M.

Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.